খাদ্য আছে। কয়েকদিন পর কিছু নতুন ছাত্র আসায় ঐ খাদ্য
20 দিনে শেষ হয়ে গেল।নতুন ছাত্র সংখ্যা কত?
#যুক্তি:- আসলে ঐকিক নিয়মে যে সব অংক করতে হয় তা
তেমন কঠিনও নয় আবার খুব সহজবোধ্য নয়, আর সহজবোধ্য
তখনি মনে হবে যখন ঐকিক নিয়মের প্যাটার্ন সাজাতে
আপনি সক্ষম হবেন। এখন মূল কথায় আসি-
ঐকিক নিয়মে একটা বিষয় মনে রাখতে হবে যে
জিনিসটা দুই বার চাইবে বা প্রশ্নে যে জিনিসটা দুই বার
দেওয়া থাকে তা অঙ্কের সমাধানের শুরুতে অর্থাৎ প্রথম
লাইনের বাম পাশে শুরুতে বসাতে হয়। আর যা প্রশ্নে বের
করতে বলে তা প্রথম লাইনের ডানপাশের শেষে বসবে।
লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো দিন দুইবার দেওয়া আছে তার মানে
দিন শুরু তে বসিয়ে অঙ্কের কাজ শুরু করতে হবে।আর জন
বা সংখ্যা আমাদের বের করতে বলছে সেহেতু তা প্রথম
লাইনের ডানপাশের শেষে বসবে অর্থাৎ 32 দিনের খাদ্য
আছে 15 জন ছাত্রের। ঐকিক নিয়মে 1 দিনে কত,আর 20
দিনে কত বের করতে হবে। উপরোক্ত প্রশ্নে বলা হয়েছে
32 দিনের খাদ্য আছে 15 জন ছাত্রের এবং কিছু ছাত্র
নতুন আসায় ঐ খাদ্য 20 দিনে শেষ হয়ে গেল লক্ষ্য করুন
ঐকিক নিয়মে প্রথমেই অঙ্কের কাজ করলে কিন্তু
ঐখানে যে ফলাফল বের হবে তা কিন্তু শুধু নতুন ছাত্র
খাদ্য খেয়েছে তা নয় পুরাতন যারা ছিল তারা সহ কিন্তু
খেয়েছে বের হবে। তাহলে আমাদের প্রশ্নে জাস্ট বলছে
নতুন ছাত্র সংখ্যা কত? তাহলে ঐকিক নিয়মে যে মোট
ছাত্র সংখ্যা বের হবে তা প্রশ্নে উল্লেখিত ছাত্র
সংখ্যা থেকে বিয়োগ করলে কিন্তু নতুন ছাত্র সংখ্যা
বের হবে। চলুন সমাধান দেখে নেওয়া যাক:-
#সমাধান :-
32 দিনের খাদ্য আছে 15 জন ছাত্রের।
1 " " " 15 × 32 " "
15 × 32
20 " " " ---------------
20
= 24 জন
সুতরাং নতুন ছাত্র সংখ্যা (24 - 15) জন
= 9 জন
উত্তরঃ 9 জন।
♦প্রশ্ন :- 63 জন লোক একটি কাজ 18 দিনে কাজ করতেপারে। 42 জন লোক ঐ কাজ কত দিনে করতে পারবে?
★যুক্তি:- আগের প্রশ্নে যে যুক্তিটা উল্লেখ করা হয়েছে
তা একটু পড়েন ক্লিয়ার হয়ে যাবে। তাহলে দেখুন প্রশ্নে
জন দুইবার চেয়েছে তাহলে তা অঙ্কের সমাধানের শুরুতে
অর্থাৎ প্রথম লাইনের বাম পাশে শুরুতে বসাতে হবে। দিন
বের করতে বলছে সেহেতু দিন প্রথম লাইনের ডানপাশের
শেষে বসবে অর্থাৎ 63 জন লোক কাজটি করে 18 দিনে,
ঐকিক নিয়মে 1জনে কত, আর 42 জনে কত বের করলে
ফলাফল বের হবে। চলুন সমাধান দেখে নেওয়া যাক :-
★সমাধান
63 জন লোক কাজটি করে 18 দিনে
1 " " " " 18 × 63 "
18 × 63
42 " " " ---------------
42
= 27 দিন।
উত্তরঃ 27 দিন।
♦প্রশ্ন:- 15 টি ছাগলের মূল্য 3 টি গরুর মূল্যের সমান। 20টি ছাগলের পরিবর্তে কয়টি গরু পাওয়া যাবে?
★যুক্তি:- এই গরু, ছাগল দেখে মুখে মুখে গুনাগুনি না করে
সোজা অঙ্কের নিয়মে চলে যান কেমন? প্রশ্নে বলে
দেওয়া হয়েছে জাস্ট গরু এন্ড ছাগলের বিষয়ে।এখানে
দেখছি ছাগল দুইবার দেওয়া আছে এবং ঐকিক নিয়মে
অঙ্কের সমাধানের জন্য যে মান বের করতে বলা হয় ঐ
মানের একটা সংখ্যা দেয়া থাকে, লক্ষ্যণীয় গরুর সংখ্যা
বের করতে বলছে ঠিকই, তাই আরেকটি গরুর সংখ্যা কিন্তু
দেওয়া আছে তাহলে আমরা ডিরেক্টলি ঐকিক নিয়মে
অঙ্কের সমাধানের কাজ শুরু করতে পারি। চলুন সমাধান
দেখে নেওয়া যাক :-
★সমাধান
15 টি ছাগলের মূল্য = 3 টি গরুর মূল্য
1 " " " = 3/15 " "
3 × 20
20 " " = ------------- " "
15
= 4 টি গরুর মূল্য
উওর:- 4 টি
#একই_নিয়মে_হবে :-
● আজমল সাহেব 100 টাকায় 20 টাকা আয়কর দেন। তাকে
5550 টাকায় কত টাকা আয়কর দিতে হবে?
উত্তরঃ 1110 টাকা।
● ঢাকা থেকে কোন স্টেশনের দুরত্ব 120 কিলোমিটার।
ঢাকা থেকে যাত্রা শুরু করে একটি ট্রেন ঘন্টায় 45
কিলোমিটার বেগে চলে ঐ স্টেশনে পৌছাতে কত সময়
লাগবে।
উত্তরঃ 2 ঘন্টা 40 মিনিট।
প্রথম লাইনটা হবে,
45 কি.মি যায় = 1 ঘন্টায়।
120 " " " (120 × 1)/45
ঘন্টা বের হবে তা থেকে ঘন্টা পৃথক করে মিনিটে নিয়ে
যেতে হবে কারণ 60 মিনিটে 1 ঘন্টা।
● একজন কৃষকের জমি চাষ করতে 38 জন শ্রমিকের 15 দিন
সময় লাগে। 57 জন শ্রমিকের ঐ জমি চাষ করতে কত সময়
লাগবে?
উত্তরঃ 10 দিন।
মো সাহেদুর রহমান সাহেদ
অর্নাস এন্ড মাস্টার্স।
অর্থনীতি।
♦প্রশ্ন:- যদি 20 জন লোক একটি কাজের অর্ধেক করতেপারে 30 দিনে তবে ঐ একই কাজ 50 দিনে করতে
অতিরিক্ত কতজন লোক লাগবে?
★যুক্তি :- লক্ষণীয় বিষয় হলো ঐকিক নিয়মে অঙ্কটা এক
কথায় হয়ে যেত যদি অর্ধেক কথাটা না বলতো। অর্ধেক
কথাটা বলে কিন্তু একটু প্যাচ লাগাইছে তাতে কোন
সমস্যা নেই। সমস্যা থাকলেতো তার সমাধানও আছে তাই
না?
এখানে কিন্তু কাজের অর্ধেক না বললে কিন্তু আমরা
ডিরেক্টলি ঐকিক নিয়মে অঙ্কের সমাধানের কাজ
করতে পারতাম কারন প্রশ্নে দুই টা দিন এবং একটা কাজ
উল্লেখ আছে (যা পর্ব 01 বিস্তারিত আলোচনা করা
হয়েছে)।ফলে অতি সহজেই সমাধান হয়ে যেত।
এখন মূল কথায় আসি:- প্রশ্নে বলা হয়েছে 20 জন লোক
একটি কাজের অর্ধেক করতে পারে 30 দিনে তার মানে
হলো
20 জন লোক 1/2 অংশ করে 30 দিনে তাইতো? হ্যা,তাই।
তাহলে 1/2 অংশ থেকে, 1 অংশ করে (30×2) = 60 দিনে,
কারন 1/2 এর অংশটা উল্টে যাবে তা সমাধানে দেখাব।
এখন লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো প্রশ্নের উল্লেখিত ঐ 30 দিন
কিন্তু এখন আর থাকবেনা কারন 30 দিন এখন 60 দিনে
রূপান্তরিত হলো।তাহলে দেখুন প্রশ্নে এখন আমরা দুইটা
দিন পেলাম 60 এবং 50 আর লোক বা জন পেলাম একটা
মানে ঐ 20 জন।
তাহলে বুঝতে সুবিধা হলো যে, যে জিনিসটা দুই বার
দেওয়া থাকে তা অঙ্কের সমাধানের শুরুতে অর্থাৎ প্রথম
লাইনের বাম পাশে শুরুতে বসাতে হয় তার মানে হলো 60
দিনে করতে পারে 20 জন লোকে।আর যা প্রশ্নে বের
করতে বলে তা কিন্তু প্রথম লাইনের ডানপাশের শেষে
বসবে অর্থাৎ 20 জন টা শেষে বসবে যেমনঃ 60 দিনে
করতে পারে 20 জন লোক। ঐকিক নিয়মে 1 - এ কত আর 50-
এ কত বের করলে কিন্তু লোকের সংখ্যা বের হবে।এতে
কিন্তু রেজাল্ট বের হলো না কারন প্রশ্নে বলা হয়েছে
কত জন অতিরিক্ত লোক লাগবে তার মানে হলো ঐকিক
নিয়মে সমাধানের পর যে সংখ্যা বের হবে তা থেকে
প্রশ্নে উল্লেখিত 20 জন বিয়োগ করলে অতিরিক্ত
লোকসংখ্যা বের হবে। চলুন সমাধান দেখে নেওয়া যাক :-
★সমাধান
20 জন,
1/2 অংশ কাজ করে 30 দিনে
1 " " " 30 × 2 "
= 60 দিনে।
কাজটি,
60 দিনে করতে পারে 20 জন লোকে।
1 " " " 20 × 60 " "
20 × 60
50 " " " ---------------
50
= 24 জন
সুতরাং,
অতিরিক্ত লোক লাগবে = (24 - 20) জন
= 4 জন।
উত্তরঃ 4 জন।
♦প্রশ্ন :- রহিম যে কাজ 10 দিনে করতে পারে করিম তা15 দিনে করতে পারে তারা একত্রে 1 দিনে 250 টাকা
আয় করে। রহিম কত টাকা পায়?
★যুক্তি এই ধরনের অঙ্কে একটা বিষয় মনে রাখতে হবে
কারো সাথে কাউকে তুলনা করলে অঙ্কটা অনুপাতের
নিয়মে হবে। প্রশ্ন করতে পারেন ঐকিক নিয়মের অঙ্কে
অনুপাতের নিয়ম অনুসরণ করবো কেন? এই প্রশ্নের উত্তর টা
হলো ঐকিক নিয়মে সমাধানের জন্য যে প্যাটার্ন
থাকতে হয় তা দেয়া নাই এই প্রশ্নে তাই।
মূল কথায় আসি:- অনুপাতের অঙ্কের আলোচনা আগে শেষ
করছি যারা ঐ পর্ব পেয়েছেন তাদের জন্য ইজি লাগবে
এই অঙ্কটা। তবুও এই প্রশ্নটা বুঝানোর জন্য কিছু বিষয়
বলতেছি। যখন একজনের সাথে অন্য জনের কাজের তুলনা
করা হয় কাজের অংশ অনুপাত আকারে দেখাতে হয় যেমন
এই প্রশ্নে বলা হয়েছে রহিম যে কাজ 10 দিনে করে তার
মানে 1/10 অংশ আর করিম তা 15 দিনে করতে পারে তার
মানে 1/15 অংশ।অনুপাতের অঙ্কে কিন্তু প্রথম অংশে
অনুপাতের যোগফল বের করতে হয়
যেমন 1/10 : 1/15 = [ ] ।
অনুপাত যদি ভগ্নাংশের আকারে হয় তার যোগফল বের
করতে কৌনিক গুন হয় যেমন এই অনুপাতের যোগফল হবে
1 : 1
--- : ---- = 15 : 10 = 15 + 10 = 25।
10 15
এখন প্রশ্নে একটু চোখ রাখুন এখানে রহিম বা করিম যার
কথা বলা হোক না কেন যার কথা বলবে দুইজনের টাকার
অনুপাতের ঐ নির্দিষ্ট ব্যক্তির, অর্থাৎ রহিমের টাকা
বের করতে বলছে তার মানে 15
250 এর ------ অর্থাৎ (রহিমের টাকা 15)
25
সুতরাং যা বের হবে তা রহিমের টাকা হবে। এখানে যদি
করিমের টাকা বের করতে বলতো তাহলে শুধু উপরের লবে
করিমের 10 টাকা বসিয়ে কাজ করলে করিমের টাকা বের
হবে।
চলুন তাহলে সমাধান বের করা যাক।
★সমাধান 1 1
রহিম : করিম = ----- : -----
10 15
= 15 : 10
অনুপাতের যোগফল = (15 + 10)
= 25
সুতরাং,
15
রহিম পাবে = 250 এর --------
25
= 150 টাকা ( "এর" মানে গূন)
উত্তরঃ 150 টাকা।
♦প্রশ্ন :- কোন একটি কাজ 90 জন লোকে 15 দিনে করতেপারে।ঐ কাজ 45 দিনে সম্পন্ন করতে কতজন লোকের
প্রয়োজন?
★ যুক্তি এখানে বিস্তারিত জানতে হবে না ডিরেক্টলি
দেখতেছি দিন দুইবার দেওয়া আছে আর জন একবার
দেওয়া আছে সো সরাসরি ঐকিক নিয়মে চলে যাওয়া
যাবে। একটা কথা মনে রাখবেন যে জিনিসটা দুই বার
দেওয়া থাকে তাকে দিয়ে অঙ্কের কাজ শুরু করতে হবে
আর যে জিনিসটা একবার দেওয়া থাকবে তার মান বের
করতে হবে।
চলুন সমাধান দেখে নেওয়া যাক :-
★সমাধান
15 দিনে কাজটি করে 90 জন লোকে।
1 " " " 90 × 15 " "
90 × 15
45 " " " ---------------
45
= 30 জন
উত্তরঃ 30 জন।
#একই_নিয়মের ।
● 28 জন লোক 15 দিনে করে একটি কাজ। 7 দিনে ঐ কাজ
শেষ করতে কতজন লোকের দরকার হবে?
উত্তরঃ 60 জন।
● 15 কেজি চাল 255 টাকায় পাওয়া যায়। 340 টাকায় কত
কেজি চাল পাওয়া যাবে?
উত্তরঃ 20 কেজি।
● 20 জন লোক একটি কাজ 10 দিনে করতে পারে।ঐ কাজ
5 দিনে সম্পন্ন করতে কতজন লোকের প্রয়োজন হবে?
উত্তরঃ 40 জন।
♦প্রশ্ন:- 8 জন পুরুষ বা 18 জন বালক একটি কাজ 36 দিনেকরতে পারে। 16 জন পুরুষ ও 18 জন বালক সেই কাজের
দ্বিগুণ একটি কাজ কত দিনে করতে পারবে ?? vvi
★যুক্তি :- লক্ষ্য করুন প্রশ্নটা কেমন জানি হজবরলো হয়ে
আছে। তাই এই হজবরলো দূর করতে একটু ঠান্ডা মাথায়
চিন্তা করলে ক্লিয়ার হবে।এখানে দুইটা অংক আছে
একটা পুরুষ ও আরেকটা বালক। অঙ্কের সমাধানের জন্য
পুরুষ বা বালক এই দুটোর মধ্যে যে কোন একটাতে
সবগুলোকে রূপান্তরিত করতে হবে। হয়তো সবগুলো পুরুষ
নাহয় সবগুলো বালকে সাজিয়ে সমাধান বের করতে হবে।
লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো প্রশ্নের উল্লেখিত প্রথম অংশে
বললো 8 জন পুরুষ বা 18 জন বালক একটি কাজ 36 দিনে
করতে পারে অর্থাৎ এই 8 জন পুরুষের কাজ হলো 18 জন
বালকের কাজের সমান। তারপর দেখুন পরের অংশে বলা
হয়েছে 16 জন পুরুষ ও 18 জন বালক সেই কাজের দ্বিগুণ
একটি কাজ কত দিনে করতে পারে, তাহলে দেখা যাচ্ছে
এই অংশে 16 জন পুরুষের একটি সংখ্যা আছে। তাহলে
ঐকিক নিয়মের জন্য আমরা প্রথম একটা পার্ট সাজাতে
পারতেছি যেমন,
8 জন পুরুষের কাজ = 18 জন বালকের কাজ, 1-এ কত ,আর 16
তে কত, বের করলে কিন্তু সবটাই বালকের সংখ্যা বা
বালকের কাজের পরিমাণ বা দিন বের হবে। মনে মনে
ধরলাম বালকের কাজের পরিমাণ বা দিন । তখন এই
বালকের সাথে প্রশ্নে উল্লেখিত বালক সংখ্যা যোগ
করলে মোট বালক সংখ্যা বের হবে।ধরলাম এই বালক
সংখ্যা (XY) জন বের হলো।
তাহলে গভীর ভাবে লক্ষ্য করুন পরের অংশের যে 18 জন
বালক আছে তারা ঐ কাজটি কিন্ত Y দিনে করে। তারপর
ঐকিক নিয়মে 1 - এ কত, আর XY তে কত বের করলে দিন
বের হয়ে যাবে।এটা কিন্তু উক্ত ফলাফল নয় কারন প্রশ্নে
বলছে ঐ কাজের দ্বিগুণ অর্থাৎ উক্ত মানের সাথে (2) গুন
করলে যে ফলাফল বের হবে তাই কাঙ্খিত ফলাফল। এখন
আসুন, এতক্ষণ যে ওয়াজ করলাম তা আমল করা যাক।
★সমাধান
8 জন পুরুষের কাজ 18 জন বালকের কা:
1 " " " 18/8 " " "
16 × 18
16 " " " ---------------
8
= 36
সুতরাং
মোট বালক = (36 + 18) জন
= 54 জন
18 জন বালক কাজটি করে 36 দিনে।
1 " " " " 18 × 36 "
18 × 36
54 " " " ---------------
54
= 12 দিনে।
সুতরাং,
কাজ দ্বিগুণ করতে পারবে = 12 × 2 দিনে
= 24 দিনে।
উত্তরঃ 24 দিনে।
♦প্রশ্ন:- একটি শিবিরে 720 জন সৈন্যের 20 দিনেরখাবার মজুদ আছে। 10 দিন পর কিছু নতুন সৈন্য আসার
কারনে অবশিষ্ট খাদ্য তাদের 8 দিন চলে। শিবিরে কতজন
নতুন সৈন্য এসেছিল?? vvi
★যুক্তি :- অঙ্কের মধ্যে মূল হিন্টস্ বের করতে পারলে
অঙ্কের সমাধানের কাজ এমনিতে চলে আসে। দেখুন এই
প্রশ্নের কথা গুলো খুব ইজি কিন্তু কি দিয়ে অঙ্কের কাজ
সাজাবো তা বুঝতেছি না, তাইতো?
আচ্ছা এখন লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো ঐ সৈন্যদের খাবার
মজুদ আছে 20 দিনের, ভালো কথা। 10 দিন পর কিছু নতুন
সৈন্য আগমন করায় বাকী খাবার....। এখানে একটু বুঝার
জিনিস আছে তাহলে দিন বাকী আছে 20 - 10 = 10 দিন,
তাইতো? হ্যাঁ, তাই। এখন লক্ষ্যণীয় বিষয় হলো এই 10 দিন
চলে ঐ খাবারে 720 জন সৈন্যের। ঐকিক নিয়মে 1 - এ কত,
আর 8 দিনে কত বের করলে সৈন্যদের মোট সংখ্যা বের
হবে এই মোট সংখ্যা থেকে প্রশ্নে উল্লেখিত 720 জন
সৈন্য বের বিয়োগ করলে নতুন সৈন্য সংখ্যা বের হবে।
★সমাধান
বাকী দিন = 20 - 10 দিন।
= 10 দিন।
10 দিন খাবার চলে 720 সৈন্যের।
1 " " " 10 × 720 "
10 × 720
8 " " " ---------------
8
= 900 জন সৈন্যের।
সুতরাং, শিবিরে নতুন সৈন্য এসেছিল
= 900 - 720 জন
= 180 জন।
উত্তরঃ 180 জন।
● #প্রশ্ন :- একটি নিদিষ্ট কাজ শেষ করতে শ্রমিক
সংখ্যা দ্বিগুণ করতে হলে, কাজটি করতে পূর্বের কতগূন
সময় লাগবে?? vvi
♦যুক্তি এই অঙ্কের একটা রহস্য হলো তিনটা জিনিসেরমধ্যে কোন কিছুর মান দেওয়া নেই যেমন: জন, শ্রমিক,
সময়, কোনটিরও মান দেয়া নেই। তাহলে আমাদের ধরে
অঙ্কের সমাধানে যেতে হবে। শুধু বলে রাখি সময় বের
করতে যেহেতু বলছে তাহলে জন বা শ্রমিকের দুটো
সংখ্যা বের করতে হবে ঐকিক নিয়মের প্যাটার্ন
সাজাতে হবে তাই।
যদি ধরি শ্রমিক সংখ্যা " X" হয়
তাহলে প্রশ্নে উল্লেখিত শ্রমিক সংখ্যার দ্বিগুণ "2X"
তাহলে দুটা শ্রমিক বা জন পেলাম। এখন যদি ধরি সময় "Y"
তাহলে আমরা এই অঙ্কের প্যাটার্ন সাজাতে পারি
যেমনঃ
X জন শ্রমিক কাজ করতে পারে Y সময়ে সময়ে, ঐকিক
নিয়মে 1জনে কত ,আর 2X-এ কত তা বের করলে ফলাফল বের হবে।
★সমাধান :-
ধরি,শ্রমিক সংখ্যা = "X"
শ্রমিক সংখ্যা দ্বিগুণ = " 2X"
এবং সময় = "Y"
তাহলে,
X জন করতে পারে Y একক সময়ে
1 " " " X × Y " "
X Y
2X " " " ---------------
2X
1
= ------ Y " "
2
সুতরাং কাজটি করতে পূর্বের 1/2 গূন সময় লাগবে।
উত্তরঃ 1/2।
